Questo gioco rappresenza l’essenza della Meccanica Computazionale, implementando il Metodo agli Elementi Finiti in una forma interativa, dove ci si può vivere una parte della quotidianità dell’Ingegnere Civile.
\( \textbf{M} \textbf{a} + \textbf{C} \textbf{v} + \textbf{K} \textbf{u} = \textbf{f} \)
L’ingegnere sa usare le versioni avanzate di questi programmi di calcolo e riesce a determinare se il risultato è corretto tramite calcoli a mano semplificati.
Segue una carrellata delle nozioni teoriche che sono necessarie a sviluppare questo giochino.
Schemi Strutturali#
Le strutture vengono semplificate nello spazio tramite elementi equivalenti, per stimare con buona approssimazione forze e deformazioni. Ogni elemento è costituito da dei nodi collegati tra di loro tramite matrici di incidenza.
Elementi Reticolari#
In questo caso si sono scelti elementi reticolari, sui quali può agire soltanto una forza lungo l’asse. Le forze vengono applicate nei punti di giuntura, al fine di evitare flessioni indesiderate. Ogni elemento è dotato di una rigidezza, in questo caso esprimibile come:
\( K = \frac{E \cdot A}{l}. \)
Equazioni Governanti.#
Conservazione della massa:
\( \rho(\textbf{X},t) J(\textbf{X},t) = \rho_0(\textbf{X},t) J_0(\textbf{X},t) = \rho_0(\textbf{X}) \)
Conservazione moto lineare:
\( \nabla \cdot \bm{\sigma} + \rho \textbf{b} = \rho \frac{D\textbf{v}}{Dt} \)
Conservazione moto angolare:
\( \bm{\sigma} = \bm{\sigma}^T \)
Conservazione dell’energia:
\( \rho \dot{w}^{int} = \textbf{D}:\bm{\sigma} - \nabla \cdot \textbf{q} + \rho s \)
Equazione Costitutiva Materiale:
\( \bm{\sigma}^{\nabla} = S_{t}^{\sigma D}(\textbf{D}, \bm{\sigma}, etc.) \)
Condizioni al Contorno e Condizioni Iniziali per vincolare il problema.
Soluzione nello Spazio.#
Lo schema strutturale viene risolto tramite l’integrazione numerica del Teorema dei Lavori Virtuali.
\( \int_{\Omega} \delta\textbf{D}:\bm{\sigma}d\Omega - \left( \int_{\Omega} \sigma \textbf{v} \cdot \rho \textbf{b} d\Omega + \sum_j \int_{\Gamma_{t_j}} \delta v_j \textbf{e}_j \cdot \textbf{t}_i d\Gamma \right) + \int_{\Omega} \delta v_i \rho \dot{v}_i d\Omega = 0 \)
Questo permette di calcolare gli spostamenti, dai quali si possono ottenere le deformazioni e le forze.
\( \varepsilon=\frac{l_{new}}{l_0} \\ \sigma = E \cdot \varepsilon \\ \textbf{F} = A \cdot \sigma \)
Soluzione nel Tempo.#
L’intera struttura viene risolta nel tempo tramite tanti piccoli incrementi temporali che ci danno spostamenti, velocità e accelerazioni. Il Corso di Dinamica delle Strutture, tenuto a seguito del Corso di Meccanica Computazionale, tratta in maniera approfondita tutta la tematica temporale.